说明
定义
数学上，平方数，或称完全平方数，是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，729=27×27，它是一个平方数。
几何意义
平方数也称正方形数，若 n 为平方数，将 n 个点排成 矩形，可以排成一个正方形。
扩大范围
若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍 然是平方数，例如，(2×2)(3×3)=49=23×23。
平方数因数
若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因数，则称 其为无平方数因数的数。
表达式
几何
一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。
通项公式
对于一个整数 n，它的平方写成 n2。n2等于头 n 个正奇数的和（
n2=∑k=1n(2k−1)）。在上图中，从1开始，第
n 个平方数表示为前一个平方数加上第 n 个正奇数，如 52=25=1+3+5+7+9=16+9。即第五个平方数25 等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。
递归公式
每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为
n2=2(n−1)2−(n−2)2+2。
例如，
2×52−42+2=2×25−16+2=50−16+2=36=62。
连续整数的和
平方数还可以表示成 n2=1+1+2+2+...+n−1+n−1+n。例如，42=16=1+1+2+2+3+3+4。可 以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的 平方数非常有用。例如， 522=502+50+51+51+52=2500+204=2704.
*以上摘自wiki-平方数
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性 的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质
// 前言：这部分比较无脑，诸位看看即可，很多地方太过繁琐，不值得深究。本打算删掉，只放个链接，但是比较乱，还是放在这给读者参考。
性质1：
完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：
奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明：
奇数必为下列五种形式之一：
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分别平方后，得
(10a+1)2=100(a2)+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)2=100(a2)+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)2=100(a2)+100a+25=20(5(a2)+5a+1)+5
(10a+7)2=100(a2)+140a+49=20(5(a2)+7a+2)+9
(10a+9)2=100(a2)+180a+81=20(5(a2)+9a+4)+1
小结：
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：
如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明：
已知m2=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则 10k+6=(10n+4)2=100(n2)+(8n+1)x10+6或
10k+6=(10n+6)2=100(n2)+(12n+3)x10+6，即
k=10n2+8n+1=2(5n2+4n)+1或
k=10n2+12n+3=2(5n2+6n)+3
∴ k为奇数
推论1：
如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平 方数。
推论2：
如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：
凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
性质5：
偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
如，
(2k+1)2=4k(k+1)+1
(2k)2=4k2
性质6：
奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质7：
平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。
平方后，分别得
(3m)2=9m2=3k
(3m+1)2=9m2+6m+1=3k+1
(3m+2)2=9m2+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质8：
不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质9：
平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。
例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。
下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。
我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。下面以四位数为例来说明 这个命题。设四位数为abcd，则
abcd=1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
性质10：
完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明：
因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而
(9k)2=9(9k2)+0(9k±1)2=9(9k2±2k)+1(9k±2)2=9(9k2±4k)+4(9k±3)2=9(9k2±6k)+9(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7
性质11：
a2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质12：
如果质数p能整除a，但p2不能整除a，则a不是完全平方数。
证明
由题设可知，a有质因子p，但无因子p2，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平 方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质13：
：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若n2 性质14： 一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。 性质15： 完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。 性质16： 若质数p整除完全平方数a，则p2|a ( a也能被p2整除 )。 重要结论’ 1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数； 2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数； 3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数； 4.形如3n✚2型的整数一定不是完全平方数； 5.形如4n✚2和4n✚3型的整数一定不是完全平方数； 6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数； 7.形如8n✚2, 8n✚3, 8n✚5, 8n✚6, 8n✚7型的整数一定不是完全平方数； 8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。 *摘自网络，不知谁抄谁=3=